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Esto es contraintuitivo

Cuando a uno le dicen que la fiabilidad de una prueba para detectar una enfermedad es del 95% piensa que si le hacen la prueba y da positivo uno tiene un 95% de probabilidades de tener la enfermedad. Y que si le hacen la prueba y da negativo, uno tiene un 95% de probabilidad de estar sano y solo un 5% de tener la enfermedad.

Nada más contrario a la realidad. Si la enfermedad la padece un 10% de la población, si a una persona le hacen la prueba y da positivo, entonces tiene una probabilidad solo del 50% de tener la enfermedad.

Un ejemplo nos ayudará a entender por qué. Cojamos aleatoriamente un grupo de 100 personas. 10 tendrán la enfermedad y 90 no. Si hacemos la prueba a estas 100 personas, de los 10 que tienen la enfermedad, la prueba dará positivo en 9 y negativo en 1. Habrá 9 verdaderos positivos y 1 falso negativo. La prueba aplicada a las 90 personas sanas, en el 10% de ellas la prueba será errónea y dará positivo, es decir, habrá 9 falsos positivos. En el resto, en 81 la prueba dará negativo. Estos 81 será los verdaderos negativos.

En total la prueba habrá dado positivo en 18 personas: 9 verdaderos positivos y 9 falsos positivos. Es decir, cuando una persona de positivo en la pruebe, la probabilidad de que tenga la enfermedad es solo del 50%, 9 enfermos entre 18 en que la prueba ha dado positivo.

Esto es muy contra-intuitivo, pero es la realidad. Y si no se explica uno puede irse a casa con una preocupación injustificada. Además, si la enfermedad la padecen solo el 1% de la población, y la fiabilidad de la prueba es del 95%, cuando da positivo, la probabilidad de tener la enfermedad es del 16%. Increíble, pero lo podéis comprobar haciendo cálculos similares a los del ejemplo.

Hay que tener mucho cuidado con la información que proporcionan las pruebas médicas. Ojo cuando en una clínica le dicen a una embarazada que su bebé vendrá con malformaciones. Feliz navidad

  1. miquel reus
    diciembre 24, 2020 a las 9:19 am

    Hola
    Como los calculos parten con el condicional “SI”, matematicamente nada que decir. La cuestion es que esta premisa (10%) es, a mi entender, solo un supuesto no confirmable empiricamente, con lo cual el calculo no pasa de ser un ejercicio, interesante si, pero no mucho mas.
    Saludos

    • diciembre 24, 2020 a las 10:17 am

      Gracias Miquel por tu mensaje, pero ¿a qué enfermedad te estás refiriendo tú? ¿a la malaria en África?, ¿al sida?, yo hablo de una supuesta enfermedad imaginaria, y en el blog hago dos supuestos, ambos imaginarios, uno con una prevalencia del 10% y el otro del 1%. Evidentemente , estos cálculos hay que adaptarlos a la prevalencia de cada enfermedad,
      Gracias por participar
      Miguel Angel

  2. Adolfo
    diciembre 24, 2020 a las 12:56 pm

    Hay un rato que no sé si se tiene en cuenta y es que es más fiable el resultado positivo que el negativo…
    Feliz Navidad, profesor Ariño.

    • diciembre 26, 2020 a las 12:43 pm

      Gracias Adolfo por tu comentario. En mi mensaje solo puse un ejemplo. Pueden hacerse otros ejemplos en los que los grados de fiabilidad sean distintos. He puesto esos números ficticios para hacer los cálculos simples
      Feliz navidad,
      Miguel Angel

  3. Joan Carles Salarich
    diciembre 24, 2020 a las 4:42 pm

    Apreciado Miguel ,tan instructivo como siempre. Aprovecho para felicitarte la Navidad y desearte un buen 2021 para ti y los tuyos. Saludos, Dr. JC Salarich (alumno PDD 2009-2010)

  4. Anónimo
    diciembre 24, 2020 a las 5:28 pm

    Hola profesor, es realmente muy contraintuitivo.
    Adjunto video explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=lG4VkPoG3ko&t=494s

    slds
    xavier

    • diciembre 26, 2020 a las 12:45 pm

      Sí Javier, es muy contraintuitivo. Por eso hay que explicarlo bien. Gracias por mostrarnos el video, que esencialmente explica el contenido del post.
      Saludos,
      Miguel Angel

  5. Ricardo
    diciembre 24, 2020 a las 7:17 pm

    Gracias D. Miguel Angel. Soy un lector incondicional de tu blog semanal. Me encanta y ayuda en mi gestión diaria. He leído varios de tus libros.

    Pero… creo que en el planteamiento que haces hay dos probabilidades confundidas. En términos de probabilidad se suelen distinguir dos: Probabilidad de Detección y Probabilidad de Falsa Alarma (falsos positivos).

    De hecho, cuando modificamos procedimientos de predicción para intentar subir la Probabilidad de detección, tenemos que tener cuidado para no subir también la de Falsa Alarma, que cuando más bajo mejor.

    En tu ejemplo, supones que ambas probabilidades son simétricas, cuando no es así o no tiene porque serlo. Normalmente cuando se habla de Probabilidad de una prueba, nos indican la de detección. Pero no podmeos concluir que la de Falsa Alarma (falso positivo) sea 100% menos la esa probabilidad de detección.

    Si lo aplicamos al COVID, habría que pedir a las autoridades sanitarias que nos digan las dos probabilidades. De hecho, se lo pregunté hace unas semanas a una médico y me dijo que la de Falsa Alarma (falso positivo) era prácticamente 0 en PCR. Pues detectan cadenas que es imposible detectar falsamente si el virus no está presente. Ni idea de medicina, pero la explicación en términos matemáticos me vale…

    Un abrazo y feliz Navidad a todos.
    Ricardo Torres

    • diciembre 26, 2020 a las 12:47 pm

      Gracias Ricardo por tu comentario, en mi ejemplo, efectivamente he puesto las tasas de fiabilidad simétricas o iguales, pero el razonamiento sirve también para tasas de fiabilidad diferentes.
      Saludos,
      Miguel Angel

  6. Xavier D.
    diciembre 27, 2020 a las 11:45 pm

    Saludos Prof. Miguel-Angel y demás participantes. Esta vez su reflexión gira acerca del entorno médico, y pienso que en estos asuntos, tanto las pruebas como las probabilidades, al principio siempre nos suelen ser confusas y preocupantes. He estudiado su consideraciónes y entiendo que vienen a aliviar mucho estos casos: Gracias por sus datos tranquilizadores y documentados. Por otra parte, me gustaría opinar sobre las estadísticas-probabilidades y su gran utilidad en la empresa, pues he comprobado que muchas veces no sabemos aprovechar su gran potencial. Pondré como ejemplo su uso para la función de Compras de Gran Consumo. Desde hace años vengo utilizando un Programa informático a medida, donde aplico con buenísimos resultados la estadística de ventas para luego determinar las cantidades a pedir. Ahora bien, cuando hace unos meses decidimos renovar nuestro Equipo y el Programa, resulta que nos encontramos que habiendo visto ya más de 20, ninguno de ellos tiene en cuenta la estadística para nada (ni puede hacerlo nos dicen los técnicos), y sólo muestran estadística de algunas grandes magnitudes y para un efecto digamos visual… Pero de manejo de valores concretos para su uso en el día a día… nada de nada ! ¿ridículo verdad? ¿#? Recuerdo en los años ’80, en aquellos primeros Supers/Hipers del momento, donde todo el papeleo teníamos que hacerlo a mano, que ya entonces utilizábamos como herramienta básica e imprescindible el útil Cadenciero (Ficha con Stock + Entrada – Existencia = Venta ->Pedido). Era laborioso y entretenido, pero revisando en cada artículo su trayectoria histórica, teníamos una verdadera estadística para poder orientarnos y definir el pedido. Pienso que es bien cierto aquello de “small is beautiful”, pues ahora con estas modernas Tic, nos ofrecen muchas prestaciones pero a veces olvidan lo esencial. Felices Fiestas de Navidad a tod@s !!! Xavier D.
    Un último apunte final, referido al tema de la semana pasada de la Flexibilidad Laboral: Creo que con esta Pandemia y sus efectos tan distorsionadores, se ha perdido una oportunidad de oro para acercarnos de una vez a los horarios Europeos, una verdadera lástima.

    • enero 3, 2021 a las 4:51 pm

      Muy interesante lo que apuntas Xavier. Ejemplificas algo que yo no me canso de repetir en mis clases: la importancia de la experiencia y del conocimiento del negocio para dirigir bien. Antes se sabía qué variables había que mirar. Ahora todo tan automatizado, que quedas totalmente a expensas de lo que hayan planificado otros, que de tu negocio no saben nada. una pena. Ahora más que nunca es importante la experiencia.
      De lo que dices al final de tu comentario, también pienso lo mismo. Aunque aún no se ha perdido la oportunidad. Conforme en las empresas se va volviendo a l trabajo presencial, se puede argumentar que también se ha trabajado telemáticamente, y se ha trabajado bien. Las empresas que sepan aprovechar esta posibilidad irán con ventaja.
      Muchas gracias por tu comentario,
      Miguel Angel

  7. diciembre 30, 2020 a las 5:26 pm

    Efectivamente, las matemáticas de probabilidades suelen ser así. Igual que la frecuencia no es la probabilidad sino una variable aleatoria y la probabilidad su esperanza matemática. Un gran matemático en probabilidades es Kolmogórov. Por eso en el caso de la pandemia que estamos sufriendo, el dato más fiable es el fallecimiento. Es un sistema caótico y la mejor distribución es la de Lévy-Mandelbrot. Buena entrada de Año 2021.

  8. Eduard
    enero 5, 2021 a las 11:13 pm

    Gracias profesor por el ejemplo del teorema de Bayes que nos contó en clase.
    Sin embargo, tengo algunas dudas que seguramente me podrá resolver con su explicación:

    Si, cómo dice en su ejemplo, la fiabilidad de la prueba para detectar la enfermedad es del 95%, entiendo que da positivo el 95% de las veces que se la hacemos a alguien enfermo y que da negativo el 95% de las veces que se la aplicamos a alguien sano.
    Es decir, Prob(negativo sabiendo que se está sano)=0,95 por lo que Prob (positivo sabiendo que se está sano)= 0,05.

    Por lo tanto en la parte de su ejemplo dónde dice “La prueba aplicada a las 90 personas sanas, en el 10% de ellas la prueba será errónea y dará positivo, es decir, habrá 9 falsos positivos. En el resto, en 81 la prueba dará negativo. Estos 81 será los verdaderos negativos”
    Creo que en realidad seria en el 5% de ellas la prueba será errónea y dará positivo, es decir, habrá 4 falsos positivos (4,5 exactamente). En el resto, 86, la prueba dará negativo.

    Si estoy en lo correcto, en total la prueba habrá dado positivo en 13 personas: 9 verdaderos positivos y 4 falsos positivos. Por tanto Prob(esté Enfermo habiendo dado positivo) =69% (9 enfermos entre 13 en que la prueba ha dado positivo).

    (Es decir, cuando una persona de positivo en la prueba, la probabilidad de que tenga la enfermedad es solo del 69%).

    Saludos profesor

    Muchas gracias

    • enero 6, 2021 a las 1:11 pm

      Gracias Eduard por tu comentario. Veo que eres alumno mío, pero no caigo en quien eres. Tienes razón en lo que dices si “la fiabilidad de la prueba para detectar la enfermedad es del 95%”, pero lee el segundo párrafo de mi mensaje y verás que todo es coherente.
      Gracias,
      Miguel Angel

  9. Eduard
    enero 6, 2021 a las 5:08 pm

    Hola de nuevo profesor. Si, fui alumno suyo, EMBA 18 🙂
    Sigo entonces sin entender los porcentajes en esta parte:
    “La prueba aplicada a las 90 personas sanas, en el 10% de ellas la prueba será errónea y dará positivo, es decir, habrá 9 falsos positivos”.
    ¿porqué se dice que en el 10% de ellas la prueba será errónea? Esto seria cierto si la prueba tuviese una fiabilidad del 90%. Pero si tiene una fiabilidad del 95%, la prueba tendría que dar errónea en el 5% y no en el 10%.

    Gracias de nuevo por sus aclaraciones 🙂

    Eduard

    • enero 6, 2021 a las 8:39 pm

      Uy , pues si fuiste alumno mío del EMBA’18, esta materia no te la di yo, te la dio Ines.
      En cualquier caso, hazme caso, lee bien el segundo párrafo de mi mensaje, que es donde empiezo el ejemplo.
      Gracias por tu interés en este asunto
      Miguel Angel

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